【PEP】Mathématiques au collège - 1re année, Semestre 1 : Le saut logique du « nombre

À l'école primaire, nous avons appris à représenter les nombres par des lettres, et nous savons qu'une lettre ou une expression contenant des lettres peut exprimer un nombre et une relation entre quantités. Passer du calcul numérique concret à l'expression des règles par des lettres constitue un grand bond en avant de la pensée mathématique.

Pourquoi ce saut est-il nécessaire ?

Sur la ligne ferroviaire Qinghai-Tibet, la vitesse du train sur le tronçon de sol gelé est de $v \text{ km/h}$. Si nous calculons la distance pour un temps donné :

la distance parcourue en $2\text{h}$ est $2v \text{ km}$
la distance parcourue en $3\text{h}$ est $3v \text{ km}$
Lorsque nous désignons le temps par $t$, la distance est $vt$.

C'est là toute la puissance des mathématiques :L'introduction de la lettre $t$ nous fait passer du calcul de « la distance pour un temps précis » à la description de « la loi générale reliant un temps quelconque à la distance ». Représenter les nombres par des lettres permet aux lettres de participer aux opérations au même titre que les nombres, et d'exprimer de façon concise les relations entre quantités à l'aide d'expressions.

Du « nombre statique » à « l'expression dynamique », cette transformation constitue la base cognitive pour l'étude ultérieure des opérations sur les polynômes et de la modélisation par fonctions. Elle nous permet non seulement de résoudre un problème, mais surtout de résoudre toute une catégorie de problèmes.

QUESTION 1

Dans l'exemple de la ligne Qinghai-Tibet, si la vitesse du train est de $100\text{ km/h}$, quelle est la distance parcourue en $th$ ?

$100 + t$

$100/t$

$100t$

$t/100$

QUESTION 2

À propos de « représenter les nombres par des lettres », quelle affirmation est incorrecte ?

Les lettres peuvent participer aux opérations comme les nombres

Les lettres ne peuvent représenter que des nombres positifs

Les lettres permettent d'exprimer de façon concise les relations entre quantités

Les lettres peuvent exprimer les lois des opérations (comme $a+b=b+a$)

QUESTION 3

Un article coûte $4.8$ yuans le sachet ; on en a vendu $m$ sachets en un mois. Comment exprimer le revenu total ?

$4.8 + m$ yuans

$4.8m$ yuans

$m/4.8$ yuans

$4.8^m$ yuans

QUESTION 4

Quel est le coefficient du monôme $-a^2h$ ?

$0$

$1$

$-1$

$a$

QUESTION 5

Quel est le degré du monôme $\f\frac{2}{3}\pi r^3$ ?

$3$

$4$

$2$

$1$

QUESTION 6

Quel est le résultat de $100t - 252t$ ?

$152t$

$-152t$

$-352t$

$-152$

QUESTION 7

Pour un nombre à deux chiffres dont le chiffre des unités est $a$ et celui des dizaines est $b$, comment exprimer ce nombre ?

$ab$

$a + b$

$10b + a$

$10a + b$

QUESTION 8

Parmi les paires de monômes suivantes, laquelle est constituée de termes semblables ?

$x^2y$ et $xy^2$

$3ab$ et $-ba$

$a^2$ et $b^2$

$2x$ et $2$

QUESTION 9

Développer : $-5(1 - \f\frac{1}{5}x) = $

$-5 - x$

$-5 + x$

$5 - x$

$-5 + \f\frac{1}{5}x$

QUESTION 10

Selon la classification des nombres rationnels, à quel groupe appartient $0$ ?

Nombres positifs

Nombres négatifs

Entiers

Fractions

Défi du saut logique : de la classification à la modélisation

Utilisation combinée des nombres rationnels et des expressions algébriques

Avant d'étudier les polynômes, il est essentiel de classer clairement les « nombres » et de savoir utiliser avec souplesse les « expressions » pour décrire des processus dynamiques. Veuillez accomplir les tâches avancées suivantes.

Tâche 1

Classez les nombres rationnels suivants dans les catégories correspondantes : $15, -\f\frac{3}{8}, 0, 0.15, -30, -12.8, \f\frac{22}{5}, +20, -60$.

Résultat de la classification :

Nombres positifs : $\{15, 0.15, \f\frac{22}{5}, +20, \dots\}$
Nombres négatifs : $\{-\f\frac{3}{8}, -30, -12.8, -60, \dots\}$
Entiers : $\{15, 0, -30, +20, -60, \dots\}$
Fractions : $\{-\f\frac{3}{8}, 0.15, -12.8, \f\frac{22}{5}, \dots\}$

Point clé :Notez la particularité de $0$ : il n'est ni positif ni négatif, mais il est entier.

Tâche 2

Prolongement de l'exemple de la ligne Qinghai-Tibet : si la vitesse du train sur le tronçon de sol gelé est de $100\text{ km/h}$ et de $120\text{ km/h}$ sur le tronçon sans sol gelé. Le train roule $t\text{ h}$ sur le tronçon de sol gelé, et la durée sur le tronçon sans sol gelé est supérieure de $0.5\text{ h}$ à celle sur le tronçon de sol gelé. Exprimez par une formule la distance supplémentaire parcourue sur le tronçon sans sol gelé par rapport au tronçon de sol gelé, puis simplifiez.

Étapes de résolution :
1. Distance sur le tronçon de sol gelé : $100t$ km.
2. Durée sur le tronçon sans sol gelé : $(t + 0.5)$ h.
3. Distance sur le tronçon sans sol gelé : $120(t + 0.5)$ km.
4. Différence de distance : $120(t + 0.5) - 100t$.
5. Simplification : $120t + 60 - 100t = 20t + 60$ km.
Conclusion :Le train parcourt $(20t + 60)$ km de plus sur le tronçon sans sol gelé que sur le tronçon de sol gelé. Cela montre comment une expression contenant des lettres permet de décrire de façon concise des relations complexes.